Công thức hình cầu

Công thức tính thể tích khối cầu (hình cầu) Đầy Đủ & Chính Xác nhất

1. Mặt cầu là gì?

Mặt cầu: Có một điểm I cố định trong không gian, tập hợp những điểm A cách I một khoảng không đổi IA được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R = IA.

2. Khối cầu là gì?

Khối cầu: Tập hợp những điểm nằm trong mặt cầu và mặt cầu được gọi là hình cầu hay khối cầu có tâm I bán kính là R = IA.

II. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU (HÌNH CẦU)

Muốn tính thể tích khối cầu ta cần tìm kích thước bán kính của nó. Sau đó thay vào công thức V = ⁴⁄₃πr³ để tính. Nhớ ghi đơn vị của thể tích là đơn vị khối nhé (cm³, m³,…)

Trong đó:

• V là thể tích khối cầu (đơn vị m³)
• π là số pi, có giá trị sấp sỉ 3,14
• r là bán kính khối cầu
• d là bánh kính mặt cầu/hình cầu

****CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CẦU

Công thức tính diện tích mặt cầu là S = 4π.R².

****TỔNG HỢP NHỮNG CÔNG THỨC CẦN GHI NHỚ

III. CÁCH TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU (HÌNH CẦU)

Để giải một bài toán tính thể tích khối cầu (hình cầu) các bạn thực hiện qua 3 bươc sau đây nhé !

Bước 1: Viết công thức tính thể tích hình cầu ra giấy nháp

V = ⁴⁄₃πr³

Bước 2: Tìm kích thước bán kính

Nếu trong đề bài toán có cho sẳn kích thước bán kính thì chúng ta đến bước tiếp theo.

Nếu đề bài cho đường kính thì bạn chia đôi để có được bán kính. Ví dụ, đường kính d = 10 cm, thì bán kính r = 5 cm.

Bước 3: Thay vào công thức tính thể tích hình cầu

Ví dụ: tìm được bán kính khối cầu r = 5 cm. Ta có,

Thể tích khối cầu V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(5)³ = 523,3 cm³

IV: BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU (HÌNH CẦU)

Câu 1:Cho hình tròn có chu vi là 31,4 cm. Hãy tính thể tích hình cầu có bán kính bằng bán kính của hình tròn vừa cho.

Giải:

Chu vi hình tròn C = 2πr = 31.4 cm

=> Bán kính r = C/2π = 5 cm

Thể tích khối cầu đã cho là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(5)³ = 523,3 cm³

Câu 2: Tính thể tích khối cầu có đường kính d = 4 cm.

Giải:

Bán kính r = d/2 = 2 cm

Thể tích khối cầu là:

V = ⁴⁄₃πr³ = 4/3.3,14.(2)³ = 33,49 cm³

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng a. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, chúng ta cần xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra có thể áp dụng phương pháp tính nhanh với một số dạng toán cụ thể.

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bước 1: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên. Bước 3: Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Trong một vài trường hợp đặc biệt, có thể có công thức tính nhanh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ

Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó) dưới góc 90 độ, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó: R=AB/2 , diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S= 2 π AB2

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, đáy là hình tam giác ABC có góc B bằng 90 độ, cạnh SA vuông góc với đáy tại điểm A. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = 2a

=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SC/2 = a

=> Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC: S= 4 π a2

=> Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: V = 4/3 π r3

Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC, SA = a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: r = SA2 /2.SO

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC: S= 4 π R2 = 3/2 π a2

Trường hợp 3: Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD,

Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông. O là tâm hình vuông ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD.

=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD: r = OD

Ví dụ: Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

R= OD = (a √ 2)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD

S = 4 π R2 = 2 π a2

GIA SƯ TOÁN TẠI NHÀ

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp.

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

cạnh a: r = (a √ 3)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = 3 π a2

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V =√ 3 /2 π a3

Diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: r = a/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: S = π a2

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a: V = ⅙ π a3

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có độ dài các cạnh lần lượt là a,b,h

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật: R= (√ (a2 +b2 +h2) )/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật : S = π (a2 +b2 +h2)

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ có độ dài cạnh đáy = chiều cao =a

Gọi O và O’ lần lượt là trọng tâm của 2 đáy tam giác ABC và A’BC’

=> Trung điểm I của đoạn OO’ là trọng tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều:

R = IC = √(IO’2 +O’C;2) = ( a√21 )/6

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều

S = 4 π R2 = 7/3πa2

Tổng kết công thức tính diện tích mặt cầu như sau

Bài tập vận dụng công thức tính diện tích mặt cầu

Cho hình chóp tam giác S ABC nội tiếp đường tròn, các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và có kích thước lần lượt là: a,b,c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Cách giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của cạnh AB

=> Tam giác SAB là tam giác vuông tại S

=> SM = MA=MB = ½ AB (SM là đường trung tuyến)

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB

Kẻ đường thẳng α qua M và vuông góc với mặt phẳng (SAB)

Trong mặt phẳng tạo bởi α và SC, đường trung trực của SC cắt α tại điểm I

=> IS = IC (1)

Mà IS = IA = IB (2)

Suy ra IA=IB=IC=IS

Để tính diện tích mặt cầu S tâm I bán kính R ký hiệu (I;R), và thể tích khối cầu (hình cầu) V tâm I bán kính R ký hiệu (I;R) chúng ta chỉ việc áp dụng công thức sau khi tính được bán kính mặt cầu,

Tuy nhiên, việc xác định tâm của mặt cầu và bán kính của mặt cầu là không dễ và cần vận dụng qua nhiều bài học để tư duy tốt hơn trong các phương pháp tính. Ngoài ra, cần có kiến thức tổng hợp về hình học để có thể thành công với đa dạng bài tập.

Bài tập tính thể tích hình cầu

Bài 1: Một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Biết diện tích toàn phần của hình trụ là 384π cm². Tính thể tích hình cầu

Bài làm:

Gọi bán kính của hình cầu là R

Hình cầu nội tiếp ở trong hình trụ nên bán kính của hình cầu chính là bán kính đáy của hình trụ -> bán kính đáy của hình trụ là R, đường cao của hình trụ là h = 2R.

Vì diện tích toàn phần của hình trụ là 384π cm² nên ta có:

S_{tp hình trụ} = 2πRh + 2πR²

⇔ 384π = 2π.R.h + 2π.R²

⇔ 384π = 2π.R.2R + 2π.R²

⇔ 384π = 6π.R²

⇔ R² = 64

=> R=8

Vậy R = 8

Thể tích của hình cầu là:

V_{(hình cầu)} = πR³ = π.8³ = 682,67 (cm³)

Bài 2: Một hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của một hình nón. Biết đường sinh của hình nón bằng 12 cm và diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích mặt cầu. Tính thể tích hình cầu.

Bài làm:

Gọi bán kính của hình cầu là R

=> Bán kính đáy của hình nón là R (vì bán kính đáy của hình nón bằng bán kính đáy của hình cầu)

+) S_{xq hình nón} = π.r.l (trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh)

⇔S_{xq hình nón} = π.R.12 

+) S_{mặt cầu} = 4 π.R²

Mà      S_{xq hình nón} = S_{mặt cầu}  nên

π.R.12 = 4π.R²

⇔ 4π.R2 – π.R.12 = 0

⇔ 4π.R.(R-3) = 0

⇔ 4π.R = 0 hoặc R-3 = 0

=> R=3     

Vậy R = 3 cm (nhận)

Thể tích hình cầu là:

V_{(hình cầu)} = πR³ = π.3³ = 36π (cm³)

Công thức toán